Comprendre les options
Partie 2 : Black-Scholes

Dans la Partie 1, nous avons posé tout l'écosystème des options sans écrire une seule formule : un droit asymétrique, six facteurs qui font le prix, quatre Greeks qui décrivent les sensibilités. Si tout ça est encore flou, je vous recommande d'y revenir une demi-heure — la suite suppose que ces briques sont en place.

Maintenant, on rentre dans le moteur. Comment arrive-t-on à un nombre précis pour la prime d'une option ? La réponse a été publiée en 1973 par Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton, et leur a valu le Nobel d'économie 24 ans plus tard. Ce n'est pas le seul modèle de pricing — mais c'est celui qui a fait basculer la finance dans une nouvelle ère, et c'est encore aujourd'hui le langage de référence sur tous les desks.

Petite anecdote pour situer la puissance — et les limites — du modèle. En 1994, deux des inventeurs (Scholes et Merton) cofondent Long-Term Capital Management, un hedge fund qui applique leurs travaux à grande échelle. Pendant trois ans, c'est la machine la plus rentable de Wall Street. Puis arrive 1998 : crise russe, fuite vers la qualité, corrélations qui s'effondrent. Le fonds perd 4,6 milliards de dollars en quelques semaines. La Fed organise un plan de sauvetage en urgence pour éviter la contagion systémique. Le Nobel arrive un an plus tard.

Cette histoire n'est pas un détour anecdotique. Elle est la leçon à garder en tête tout au long de ce cours : Black-Scholes est faux dans presque toutes ses hypothèses, et pourtant c'est le langage commun de toute la finance dérivée. Je vous explique comment on tient ces deux choses en même temps.

Promesse de cette partie : à la fin, vous comprendrez d'où vient la formule, ce que chaque terme veut dire, pourquoi le drift de l'action disparaît du pricing (l'idée la plus contre-intuitive de toute la finance), et pourquoi les traders parlent de vol implicite, de smile et de skew sans jamais regarder le vrai prix d'une option. Comptez 30 minutes de lecture pleine. Vous pouvez sauter une section sans casser les suivantes — chaque partie tient à peu près debout seule.

// 01

Du pollen de Brown au prix d'une action

Été 1827 — Robert Brown au microscope

Robert Brown est un botaniste écossais. Cet été 1827, il observe au microscope des grains de pollen flottant dans une goutte d'eau. Il s'attend à voir des objets immobiles. Il voit des grains qui tremblent en permanence, qui zigzaguent sans raison apparente, sans jamais s'arrêter. Il pense d'abord à de la « vie » dans le pollen. Il refait l'expérience avec de la poussière minérale — même comportement. Le mouvement est physique, pas biologique. Il publie. Personne ne sait l'expliquer.

Ce mouvement portera son nom : le mouvement brownien. Et il faudra attendre 78 ans pour qu'on le comprenne.

1905 — Einstein voit les molécules

En 1905, son annus mirabilis, Einstein publie quatre articles qui chacun mériteraient un Nobel. L'un d'eux porte sur le mouvement brownien. Son explication est limpide : le grain de pollen est gigantesque comparé aux molécules d'eau qui l'entourent, mais ces molécules le bombardent en permanence. À chaque instant, des milliers de chocs viennent de toutes les directions ; la plupart se compensent, mais pas exactement. Il reste à chaque instant un petit déséquilibre, qui pousse le grain dans une direction aléatoire.

Einstein montre que la position du grain à l'instant t suit une loi normale de variance proportionnelle à t. C'est la première démonstration théorique de l'existence des atomes. Jean Perrin, à Paris, la confirme expérimentalement quelques années plus tard, et reçoit le Nobel pour ça.

1900 — Bachelier, 5 ans avant Einstein, applique l'idée à la Bourse

Détour fascinant : cinq ans avant Einstein, un thésard français nommé Louis Bachelier soutient à la Sorbonne une thèse intitulée Théorie de la spéculation. Il y modélise le prix des emprunts d'État cotés à Paris comme une marche aléatoire continue — le mouvement brownien, donc, mais appliqué à la finance, et démontré rigoureusement avant que les physiciens ne s'y mettent.

Il y prouve une formule de pricing d'options. Henri Poincaré dirige sa thèse, la juge brillante mais « hors sujet » pour des mathématiques pures. Bachelier passe sa carrière dans des postes secondaires en province et meurt presque oublié. Sa thèse est redécouverte dans les années 1950 par Paul Samuelson, qui réalise qu'elle contenait, soixante-dix ans avant Black-Scholes, l'essentiel de la machinerie. C'est la première application du brownien à la finance.

Le brownien classique — et son problème embêtant

Le modèle de Bachelier postule que le prix bouge comme un grain de pollen : dS = μ dt + σ dW. À chaque instant, le prix se déplace d'une moyenne μ dt (le drift) plus un bruit aléatoire σ dW de loi normale. Simple, beau, manipulable.

Sauf qu'un prix d'action n'est pas une coordonnée de pollen. Une action ne peut pas devenir négative. Si Apple cote 200€, elle peut tomber à 1€ ou monter à 1000€, mais elle ne peut pas valoir −50€ — la responsabilité limitée des actionnaires l'empêche par construction. Or le modèle additif de Bachelier autorise sans problème des trajectoires négatives. Pour un emprunt d'État de courte maturité, le bug est invisible. Pour une action volatile sur 5 ans, c'est rédhibitoire.

1965 — Samuelson, l'astuce du logarithme

Paul Samuelson (futur Nobel 1970) propose en 1965 un fix élégant. Au lieu de modéliser dS, on modélise dS / S — le rendement relatif, en pourcentage. Mathématiquement :

Cette équation s'appelle un mouvement brownien géométrique. Elle dit que c'est le rendement, pas le prix, qui se comporte comme un brownien. Trois conséquences immédiates :

• Le prix reste strictement positif à tout instant. Il peut tendre vers zéro mais ne le franchit jamais.
• La distribution du prix à un horizon T n'est plus normale : elle est log-normale (asymétrique, queue droite plus longue, plancher à zéro).
• Les rendements logarithmiques sont, eux, normaux. C'est cohérent avec ce qu'on observe sur les vraies données de marché — à peu près.

C'est ce modèle, et ce modèle seulement, qu'utilisent Black, Scholes et Merton huit ans plus tard. Tout le reste du cours en découle.

// 02

Le mouvement brownien géométrique, décortiqué

On va passer une section entière sur cette équation, parce qu'elle est le socle de tout. Si vous la possédez, le reste du cours coule de source.

Avant la formule, comprenons ses ingrédients

Cette équation va sembler intimidante au premier coup d'œil. Pas de panique. On va la lire comme on lit une recette de cuisine : un ingrédient à la fois. À la fin de cette sous-section, vous pourrez la lire à voix haute en français.

Imaginez que vous êtes en voiture. Votre vitesse à un instant donné, c'est combien de mètres vous parcourez par seconde. C'est une variation : « à chaque petite seconde qui passe, je me déplace de tant ». Si je connais ma vitesse à chaque instant, je peux reconstituer mon trajet entier en additionnant tous ces petits déplacements.

Une équation différentielle, c'est exactement ça : elle décrit la vitesse de variation d'une grandeur. En l'occurrence, on va décrire la vitesse de variation du prix d'une action.

Les symboles, un par un

Décortiquons les 5 symboles qui vont apparaître dans la formule :

Maintenant, lisons la formule

Avec ces symboles en main, vous pouvez maintenant lire la formule du mouvement brownien géométrique en français :

« Sur un petit intervalle de temps (dt), la variation relative du prix de l'action (dS / S) est égale à la somme de deux choses : un drift moyen prévisible (μ × dt, le rendement attendu sur cet intervalle), plus un bruit aléatoire (σ × dW, des chocs imprévisibles dont l'amplitude est proportionnelle à la volatilité). »

Pris ensemble : l'action a une tendance moyenne à monter, mais à chaque instant elle est secouée par des chocs aléatoires dont la taille dépend de sa volatilité. C'est tout. C'est ça que dit la formule.

Un exemple chiffré, pas à pas

Avant d'enchaîner, une analogie. Imaginez que vous montez un escalier roulant qui avance lentement, et qu'en même temps quelqu'un vous bouscule de gauche à droite à chaque marche. L'escalier, c'est le drift μ dt — votre tendance moyenne à monter. La bousculade, c'est le bruit σ dW — l'aléa qui vous décale autour de cette tendance. À chaque pas, votre position dépend des deux. C'est tout ce que fait l'équation.

Maintenant, faisons-le sur Apple. Prenons l'action à 180€, avec μ = 12%/an et σ = 25%/an. On simule une journée (dt = 1/252 an, parce qu'il y a environ 252 jours de bourse par an).

Le drift sur la journée : μ × dt = 0,12 × (1/252) ≈ 0,000476, soit environ +0,048%. C'est minuscule à l'échelle d'une journée — l'escalier roulant avance lentement.

Le bruit aléatoire dW est tiré au hasard. Disons qu'aujourd'hui le tirage donne dW = +0,015 (un choc positif modéré). Alors σ × dW = 0,25 × 0,015 = +0,375%. La bousculade, elle, est nettement plus forte que l'escalier : sur une journée, c'est l'aléa qui domine.

Total : dS/S = 0,048% + 0,375% = +0,423% sur la journée. Donc Apple finit à 180 × 1,00423 ≈ 180,76€.

Refaisons le même exercice sur deux profils opposés pour caler l'œil. Bitcoin à 50 000€, μ = 30%/an, σ = 70%/an. Drift journalier = 0,30/252 ≈ +0,12% (l'escalier monte trois fois plus vite qu'Apple). Si dW = +0,015, alors σ × dW = 0,70 × 0,015 = +1,05%. Total ≈ +1,17%, soit Bitcoin à 50 585€ en fin de journée. La bousculade est ici massive — une journée à ±1% sur Bitcoin, c'est juste un mardi calme.

À l'autre extrême, Coca-Cola à 60€, μ = 6%/an, σ = 18%/an. Drift journalier ≈ +0,024%. Avec le même tirage dW = +0,015, σ × dW = 0,18 × 0,015 = +0,27%. Total ≈ +0,29%, Coca finit à 60,18€. Même équation, même tirage de hasard, comportements totalement différents — c'est uniquement μ et σ qui changent tout.

Demain, on retire un autre dW au hasard, et ainsi de suite. C'est exactement ce que font les simulations Monte Carlo : elles déroulent des milliers de fois cette logique pour générer des trajectoires possibles. Vous voyez celles de l'image suivante.

Lecture en mots

« Sur un petit intervalle de temps dt, le rendement relatif de l'action (dS/S) est composé de deux choses : un drift moyen μ dt, et un bruit aléatoire σ dW de loi normale centrée sur zéro. »

• μ (mu) — le rendement moyen annualisé attendu de l'action (le drift). C'est ce que vous gagneriez en moyenne sur un grand nombre d'années si l'action suivait fidèlement ce modèle.
• σ (sigma) — la volatilité annualisée des rendements. Mesure l'amplitude des fluctuations autour de ce drift.
• dW — l'incrément de mouvement brownien. Concrètement : un tirage gaussien d'écart-type √dt à chaque pas.

Cinq profils chiffrés — pour caler l'intuition

Avant de regarder les schémas, prenons cinq sous-jacents radicalement différents. Si vous saviez seulement deux nombres sur chacun (μ et σ), voilà ce que vous sauriez déjà. Calibrés sur les données historiques 2010-2024 :

• Apple (AAPL) — μ ≈ 12% / an, σ ≈ 25% / an. Action de croissance mature, vol modérée. Le profil par défaut de la grande tech US.
• LVMH (MC.PA) — μ ≈ 11% / an, σ ≈ 28% / an. Champion européen du luxe. Vol un peu plus élevée que l'Apple américaine — exposition au cycle chinois et à la consommation discrétionnaire.
• Coca-Cola (KO) — μ ≈ 6% / an, σ ≈ 18% / an. Defensive stock typique : dividende régulier, vol basse, rendement modeste. Le contraire d'une action de croissance.
• EuroStoxx 50 — μ ≈ 7% / an, σ ≈ 20% / an. Indice de 50 grandes valeurs : la diversification écrase la vol des actions individuelles.
• Bitcoin (BTC) — μ ≈ 30% / an, σ ≈ 70% / an. Rendement attendu spectaculaire, mais une vol qui mange la moyenne en quelques semaines de mauvais marché.

Notez que μ ne dit pas grand-chose à l'horizon d'un an : la vol domine largement. Sur dix ans, le drift commence à compter ; sur trente, il est dominant. C'est exactement ce qui justifie l'investissement long terme — et pourquoi on ne juge pas un fonds sur trois mois.

La distribution log-normale

Une fois qu'on a simulé des milliers de trajectoires possibles, on peut se poser une autre question : à la date d'échéance, quels sont les prix les plus probables ? L'image qu'on obtient n'est pas la cloche symétrique des cours de stats. Elle est déformée — et cette déformation va devenir capitale quand on pricera des options.

Imaginez un sac de 1000 billes lancées en l'air avec un peu d'aléa : si on les laisse retomber, elles forment un nuage. La forme exacte de ce nuage dépend de la façon dont on les a secouées. Pour une action soumise à un brownien géométrique, ce nuage a une forme bien précise : on l'appelle log-normale.

Si on fige toutes les trajectoires à la maturité T et qu'on regarde la distribution des prix finaux, on obtient cette log-normale. C'est l'image-clé à avoir en tête : pas une cloche symétrique, mais une cloche déformée vers la droite, plancher à zéro, queue droite très étendue.

Pourquoi cette forme ? Parce que les rendements logarithmiques s'additionnent normalement, et que le prix est l'exponentielle d'une somme de gaussiennes. L'exponentielle est très asymétrique : −2σ correspond à diviser par e², soit ÷7,4 ; +2σ correspond à multiplier par e², soit ×7,4. Donc à perte limitée à zéro, gain illimité — ça vous rappelle quelque chose ? Oui, le payoff d'un long call. Cette correspondance n'est pas un hasard.

La règle du √T — les marchés respirent en racine carrée

On arrive à une propriété qui mérite qu'on s'y arrête vraiment. Elle est simple à énoncer, mais elle a des conséquences pratiques énormes pour quiconque travaille avec de la volatilité.

L'idée intuitive d'abord. Imaginez quelqu'un qui marche au hasard à chaque pas : un pas à gauche, un pas à droite, tiré à pile ou face. Au bout de 4 pas, où sera-t-il ? Pas à 4 mètres de l'origine — il aurait fallu pour ça que les 4 tirages aillent dans le même sens. En moyenne, il sera à √4 = 2 mètres de son point de départ. Au bout de 100 pas, il sera à √100 = 10 mètres, pas 100. C'est le hasard qui se compense partiellement à mesure qu'il s'accumule.

Pour les marchés, c'est exactement la même mécanique. La dispersion des prix grandit en √T, pas en T. C'est pour ça qu'on annualise les vols par √T : la signature mathématique du hasard cumulé.

Trois exemples pour caler les ordres de grandeur. Apple, σ annuel = 25% :

• Vol mensuelle : 25% × √(1/12) ≈ 7,2%. Pas 25%/12 = 2,1% (erreur classique).
• Vol journalière : 25% × √(1/252) ≈ 1,57%. C'est le mouvement « normal » qu'on doit s'attendre à voir un jour donné.
• Vol hebdo : 25% × √(1/52) ≈ 3,5%. Sur une semaine sans nouvelle particulière, voilà la fourchette typique.

Bitcoin, σ annuel = 70% :

• Vol journalière : 70% × √(1/252) ≈ 4,4%. Voir ±5% en 24h sur Bitcoin n'a rien d'exceptionnel : c'est statistiquement « normal ».
• Vol mensuelle : 70% × √(1/12) ≈ 20%. Sur un mois calme, on s'attend à un mouvement de l'ordre de ±20%.

Coca-Cola, σ annuel = 18% :

• Vol journalière : 18% × √(1/252) ≈ 1,13%. Une journée à ±1% sur Coca, c'est juste le bruit ordinaire.

Cette règle est l'outil quotidien d'un trader pour passer d'une vol annualisée (la convention de marché) à un mouvement attendu sur sa fenêtre de travail. En pratique : la fourchette plausible des prix s'écarte vite à court terme, beaucoup plus lentement à long terme. C'est exactement la forme du « cône » que les traders dessinent à main levée — les bandes ±1σ et ±2σ autour du drift, qui s'évasent comme une trompette. Cette forme va apparaître naturellement sur le schéma 6.

// 03

Le miracle de la réplication

On vient de voir comment l'action bouge — un drift régulier plus un bruit aléatoire. Belle équation, mais elle ne dit rien sur le prix d'une option. C'est l'objet de cette section : partir du mouvement de l'action pour en déduire le prix juste d'un call ou d'un put. L'intuition est subtile, j'ai personnellement mis du temps à la digérer. Préparez-vous à relire deux fois.

L'analogie du cocktail

Imaginez que vous entrez dans un bar et que vous commandez un Old Fashioned. Le barman vous l'annonce à 18€. Vous êtes pressé, mais vous savez faire ce cocktail vous-même. Vous regardez les ingrédients : 5cl de bourbon, un sucre, deux traits d'angostura, un zeste d'orange. Vous calculez le coût des ingrédients chez le caviste d'à côté : 4€.

Soit vous payez le service, soit vous le fabriquez vous-même. Mais si un autre bar, à 50 mètres, vendait le même Old Fashioned à 3€, vous n'iriez plus jamais payer 18€ ailleurs. Plus encore : vous achèteriez 100 cocktails à 3€ et les revendriez à 18€ — et le marché se rééquilibrerait en quelques heures.

Le prix juste d'un cocktail, c'est le coût des ingrédients pour le fabriquer. Pas plus, pas moins, sinon arbitrage. Black, Scholes et Merton ont eu en 1973 la même idée pour les options.

L'idée fondatrice : on ne price pas, on fabrique

Au lieu de demander « combien devrait valoir cette option ? » (question philosophique), ils ont posé : « combien coûte-t-il de fabriquer le payoff de cette option avec deux instruments simples — l'action et un compte cash ? ». Le prix de l'option, c'est le coût de cette fabrication. Point.

Le commerçant qui achète à Lyon pour revendre à Paris fait exactement ça. Si l'écart est plus grand que les frais de transport, il s'enrichit sans risque. Sur les marchés financiers, les algos font la même chose en quelques millisecondes. Le prix qu'on calcule avec Black-Scholes, c'est le prix au-delà duquel un arbitragiste vous mangera tout cru.

Le delta hedging, pas à pas

Comment fabrique-t-on le payoff d'une option ? Avec une stratégie qu'on appelle le delta hedging. Avant la mécanique, l'image.

Concret. Vous êtes trader. Vous vendez à un client un call sur Apple, strike 200€, 6 mois, prime encaissée 10€. Vous êtes maintenant short call : si Apple monte à 250€, vous devrez livrer une action à un prix bien en-dessous du marché. Vous voulez vous couvrir.

L'astuce : à tout moment, vous tenez en portefeuille une quantité d'actions Apple égale au delta du call. Si delta = 0,5, vous détenez 0,5 action. Si delta passe à 0,55, vous achetez 0,05 action en plus. Si Apple baisse et delta retombe à 0,4, vous revendez 0,15 action. Cette danse continue annule, à chaque instant, le risque directionnel.

« En français pur : si vous savez fabriquer le payoff de l'option en achetant et revendant l'action en continu, alors le prix de l'option ne peut être ni plus haut ni plus bas que le coût de cette fabrication, sinon quelqu'un s'enrichit sans risque. »

Lecture du schéma 7

Le schéma ci-dessous montre la valeur du call (courbe cyan, courbée) et son portefeuille répliquant à un instant donné (droite violette pointillée). Bougez le slider pour déplacer le prix. Vous voyez que la droite est tangente à la courbe au point courant. Cette tangente, c'est exactement « 0,5 action + un peu de cash » à 100€, qui devient « 0,55 action − un peu plus de dette » à 105€. Le delta hedging, c'est ajuster cette tangente en continu pour qu'elle reste collée à la courbe.

Le résultat le plus déroutant : le drift μ disparaît

Accrochez-vous, voici la conclusion qui m'a sidéré quand je l'ai vraiment comprise. Le rendement attendu μ de l'action n'apparaît pas dans la formule de Black-Scholes. Pas du tout. Pas une seule fois.

Pourquoi ce miracle ? Parce que le hedge dynamique annule la dépendance directionnelle. Si Apple monte, le delta monte, le trader achète plus d'actions, son portefeuille suit la hausse. Si Apple baisse, le delta baisse, il vend, son portefeuille suit la baisse. Le drift de l'action est répliqué automatiquement par le portefeuille de couverture — donc il s'annule des deux côtés du bilan. Seule la volatilité σ compte, parce que c'est elle qui détermine combien de rebalancement il faut faire.

Lecture du schéma 8 : trois courbes de distribution des prix d'Apple à 1 an, pour trois valeurs du drift μ. Visuellement, elles sont décalées : celle à μ=20% pointe vers la droite, celle à μ=−5% vers la gauche. Pourtant, à droite, le prix Black-Scholes du call est identique dans les trois cas. C'est l'image qui doit rester gravée.

On a remplacé μ par rien dans la formule. Mais d'un point de vue probabiliste, par quoi est-il conceptuellement remplacé ? Réponse dans la section suivante : la probabilité risque-neutre.

// 04

La probabilité risque-neutre

Dans la section précédente, on a découvert un fait étrange : le drift μ disparaît du pricing. Cette section répond à la question naturelle qui suit : si μ disparaît, par quoi est-il remplacé conceptuellement ? Réponse : par un trick mathématique aussi élégant que contre-intuitif, appelé la probabilité risque-neutre.

On va construire cette idée pas à pas, avec un exemple chiffré simple. Pas de formule abstraite avant qu'elle ne soit méritée.

Le problème : pricer dans un monde où les opinions divergent

Reprenons Apple à 100€ aujourd'hui. Trois traders veulent pricer un call ATM strike 100, maturité 1 an. Ils ont chacun leur opinion sur le rendement attendu de l'action :

• Anna est bullish : elle estime que l'action montera de 20% en moyenne (μ_Anna = 20%)
• Ben est neutre : il n'a pas d'opinion (μ_Ben = 0%)
• Clara est bearish : elle pense que l'action perdra 5% (μ_Clara = -5%)

On a vu en Section 3 que les trois doivent pricer le call au même prix, sinon ils s'arbitrent mutuellement. Mais alors, quel μ doivent-ils utiliser dans leurs calculs ? Aucun des trois, en fait. Ils doivent utiliser un μ artificiel, identique pour tous, qui rend les calculs cohérents avec l'absence d'arbitrage.

Ce μ artificiel, c'est r, le taux sans risque. Et travailler avec ce μ artificiel, c'est ce qu'on appelle « se placer sous la mesure risque-neutre », ou « sous Q ».

L'analogie de la table de poker

Concrètement : qu'est-ce que Q transforme ?

Sous la mesure réelle P (la « vraie » probabilité), notre brownien géométrique s'écrit :

Sous la mesure risque-neutre Q, on remplace μ par r, et le brownien dW^P devient dW^Q (autre processus, même volatilité) :

Trois choses changent. Quatre choses ne changent pas.

Ce qui change :

• Le drift passe de μ (rendement attendu réel) à r (taux sans risque)
• La distribution du prix S à maturité se décale (vers le haut si μ > r, vers le bas si μ < r)
• Les probabilités attribuées aux différents prix futurs changent — par exemple, sous P la proba que S finisse à 130 peut être 30%, sous Q elle peut être 22%

Ce qui ne change pas :

• La volatilité σ — la « largeur » de la distribution reste identique
• Les payoffs des options (max(S−K, 0) reste max(S−K, 0))
• Le sous-jacent lui-même — Apple ne sait pas qu'on a changé de mesure
• Les prix observés sur le marché — ils sont compatibles avec Q par construction de l'arbitrage

Pourquoi ce changement résout-il le problème ?

Voici le miracle. Sous Q, le prix de n'importe quel actif se calcule comme la moyenne actualisée de ses payoffs futurs. C'est-à-dire :

« En français pur : le prix d'une option aujourd'hui est égal à la moyenne de ce qu'elle va payer dans le futur (calculée avec les probabilités de Q), divisée par e^rT pour ramener cette moyenne à aujourd'hui. »

Cette formule est universelle : elle marche pour n'importe quelle option, n'importe quel payoff, du moment qu'on sait calculer les payoffs futurs et qu'on dispose de la distribution de S sous Q.

Mini-exemple : pricer une option binaire à la main

Prenons un cas-jouet pour voir Q en action. Une option binaire qui paie 100€ si Apple finit au-dessus de 100 dans 1 an, et 0€ sinon. S₀ = 100, r = 4%, σ = 25%.

Sous P (vraie probabilité avec μ = 12%), on calcule :

• Probabilité que S₁ > 100 sous P ≈ 62%
• Espérance du payoff sous P = 0,62 × 100 + 0,38 × 0 = 62€
• Si on actualisait à r = 4% : prix « naïf » = 62 / e^0,04 ≈ 59,57€

Sous Q (μ remplacé par r = 4%), on calcule :

• Probabilité que S₁ > 100 sous Q ≈ 52% (plus basse, parce que le drift est plus faible)
• Espérance du payoff sous Q = 0,52 × 100 + 0,48 × 0 = 52€
• Prix actualisé à r : prix BS = 52 / e^0,04 ≈ 49,96€

Le prix correct est 49,96€, pas 59,57€. Pourquoi ? Parce que les 62% de proba sous P intègrent l'opinion subjective d'Anna sur le drift. Si elle vendait l'option à 59,57€, un autre trader (Ben) avec une opinion différente ne serait pas d'accord, et ils s'arbitreraient. Le prix qui empêche tout arbitrage, le seul prix universel, c'est 49,96€ — celui calculé sous Q.

Trois mises au point critiques

C'est ici que la confusion s'installe le plus souvent. Trois clarifications à graver, sinon la suite va sembler incompréhensible.

(a) Q n'est pas la probabilité réelle. Personne ne pense vraiment qu'Apple ne rapportera que 4% par an. La proba réelle (P) reste celle des opinions de chacun. Q est un outil de pricing, pas une croyance.

(b) « Risque-neutre » ne veut pas dire « rendement nul ». Sous Q, le rendement attendu de toute action est r (le taux sans risque, ~4% aujourd'hui), pas zéro. « Neutre » signifie « sans prime de risque », pas « sans rendement ».

(c) Q est universel, P est personnel. Anna, Ben, Clara ont chacun leur P. Mais ils utilisent le même Q pour pricer. C'est ce qui rend le marché possible : un référentiel commun de calcul, indépendant des opinions.

Pourquoi ça marche : l'argument d'arbitrage

La justification rigoureuse vient de la Section 3. On a montré que le delta hedging permet de fabriquer mécaniquement le payoff d'une option en achetant et vendant le sous-jacent. Le coût de cette fabrication ne dépend pas du drift μ.

Conséquence : dans un monde sans arbitrage, le prix d'une option est uniquement déterminé par σ, r, S, K, T, q. Mathématiquement, on démontre (Harrison & Pliska, 1981) qu'il existe une unique mesure de probabilité Q sous laquelle :

• Le prix de tout actif (option ou sous-jacent) actualisé à r est une martingale (= une variable dont l'espérance future est égale à sa valeur actuelle, comme un jeu équitable où votre fortune attendue demain égale votre fortune d'aujourd'hui)
• Le prix d'une option = espérance sous Q de son payoff, actualisée à r

Cette mesure Q, c'est celle dans laquelle on travaille pour pricer. Elle existe, elle est unique, elle donne des prix sans arbitrage. C'est tout ce qu'il faut savoir pour la suite.

// 05

L'EDP de Black-Scholes

Avant la formule, il y a l'EDP. Une équation différentielle qui doit être satisfaite par la valeur V(S,t) de toute option européenne sur le sous-jacent. Sa résolution avec la condition terminale du payoff donne la formule fermée de la section suivante.

Avant l'équation : qu'est-ce qu'une EDP ?

EDP = Équation aux Dérivées Partielles. Le nom fait peur. L'idée derrière, beaucoup moins.

Reprenons l'analogie de la voiture. Une équation différentielle ordinaire (comme dS/S = μ dt + σ dW) décrit comment une seule grandeur évolue dans le temps. C'est : « comment ma vitesse change avec le temps ».

Une EDP, c'est une équation qui décrit comment une grandeur dépend de plusieurs choses à la fois. Ici, on va dire : « le prix de mon option dépend du prix de l'action ET du temps qui passe ». Deux variables au lieu d'une.

Le langage des dérivées partielles

On va voir 3 nouveaux symboles. Pas plus.

Vous remarquez ? Les 3 termes les plus importants de l'EDP de Black-Scholes sont les Greeks que vous connaissez déjà. La formule n'invente rien, elle relie juste ces Greeks entre eux.

D'où ça sort ? Le lemme d'Itô, en mots

On va voir une règle de calcul un peu spéciale. Voici l'idée en deux phrases.

En calcul classique (les dérivées du lycée), si vous avez un infinitésimal dt et que vous le mettez au carré, dt² est négligeable. Pas grave, on l'oublie.

En calcul stochastique, c'est différent. Le mouvement brownien dW a une propriété surprenante : son carré dW² ne se comporte pas comme un infinitésimal négligeable. Au contraire, dW² se comporte exactement comme dt. C'est la règle d'Itô.

→ Conséquence pratique : quand on calcule comment la valeur d'une option V(S,t) bouge, ce « dW² » produit un terme correctif proportionnel à σ². Sans ce terme, le pricing s'effondre. Avec lui, on tombe sur l'EDP de Black-Scholes.

Pour fixer l'idée intuitive : pour les actifs qui zigzaguent (pollen, prix d'action), le « bruit accumulé » sur une période n'est pas zéro — il croît proportionnellement au temps. C'est ce qui crée le terme bonus en σ²T qu'on va voir apparaître partout.

Quand on applique cette règle d'Itô à la valeur d'une option, puis qu'on construit le portefeuille répliquant qui annule le risque local (Π = V − Δ·S, exactement le delta hedging de la Section 3), puis qu'on exige que ce portefeuille rapporte le taux sans risque r (sinon arbitrage), on tombe mécaniquement sur l'équation suivante.

L'équation, terme par terme

« En français pur : la perte de valeur due au temps qui passe (terme 1, négatif) est exactement compensée par le gain dû à la convexité face à la volatilité (terme 2, positif), plus un ajustement de financement (termes 3 et 4) qui tient compte du coût du capital. Si cet équilibre se rompait, un arbitrage serait possible. »

C'est une équation d'équilibre dynamique. Le trader d'options ne fait, fondamentalement, qu'arbitrer cet équilibre minute après minute.

Lecture en Greeks

Si on relit l'EDP avec les notations des Greeks de la Partie 1 (∂V/∂t = Θ, ∂V/∂S = Δ, ∂²V/∂S² = Γ), elle devient lisible à voix haute :

« À chaque instant, le theta paye le gamma. L'érosion temporelle finance la convexité face au mouvement. »

Exemple chiffré, étape par étape

Prenons Apple à 180€, K = 180€ (call ATM), σ = 25%, r = 4%, T = 3 mois.

Étape 1. On calcule le gamma de ce call (formule de la Section 7) : Γ ≈ 0,018.

Étape 2. Terme « gain gamma » : ½ × σ² × S² × Γ = ½ × 0,0625 × 32 400 × 0,018 ≈ 18,2 €/an.

Étape 3. Le theta de ce call vaut environ −18 €/an (érosion temps).

Étape 4. On vérifie : Θ + ½σ²S²·Γ ≈ −18 + 18,2 ≈ 0,2. Quasi-zéro. Les petites différences proviennent des termes de financement rS·Δ − rV. L'équation tombe juste. Ce n'est pas une coïncidence : c'est par construction.

Lecture des schémas 11 et 12

Le schéma 11 trace, en fonction du prix de l'action, le terme Θ (orange, négatif) et le terme ½σ²S²·Γ (vert, positif). Ils sont quasi en miroir autour du strike. Leur somme est très proche de zéro. C'est l'équation visualisée.

Le schéma 12 (heatmap) montre la solution V(S, t) de l'EDP : la valeur d'un call selon le prix S et le temps restant. À l'échéance (en bas), c'est le payoff hockey-stick. Plus on remonte (plus de temps), plus la transition s'arrondit — c'est l'optionalité qui survit grâce au temps.

Maintenant qu'on a l'équation, il faut la résoudre. C'est ce que Black, Scholes et Merton ont fait en 1973, et c'est l'objet de la section suivante.

// 06

La formule fermée

Section précédente : on a obtenu une équation (l'EDP) que toute option doit satisfaire. Cette section : on la résout. Le résultat — la formule de Black-Scholes — est l'aboutissement du cours, le truc qu'on grave sur les T-shirts du master.

Avant la décortication mathématique : pourquoi 2 termes ?

Beaucoup de lecteurs voient la formule C = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂) et se demandent : « pourquoi y a-t-il deux termes qui se soustraient ? ». Voici l'intuition.

Quand vous achetez un call, vous achetez un droit d'acheter l'action à un prix K dans le futur. À maturité, vous allez :

• Soit recevoir l'action (qui vaudra alors S à maturité) — c'est ce que vous touchez
• Soit payer le strike K (le prix d'exercice) — c'est ce que vous décaissez

Donc fondamentalement, le call est la différence entre « ce que vous touchez » et « ce que vous payez ». Mais il y a une subtilité : ces deux flux ne se produisent que dans le cas où l'option est exercée, c'est-à-dire seulement si l'action est au-dessus du strike à maturité.

Donc le prix juste, c'est :

Prix du call = (Espérance de ce que vous toucherez) − (Espérance de ce que vous paierez), actualisée à aujourd'hui.

Et c'est exactement ce qu'écrit la formule de Black-Scholes :

• S × N(d₁) = espérance de « ce que vous toucherez » (l'action à maturité, pondérée par la probabilité de l'avoir)
• K × e^(−rT) × N(d₂) = espérance de « ce que vous paierez » (le strike actualisé à aujourd'hui, pondéré par la probabilité de le payer)

Voilà tout. La formule, c'est juste : ce que je gagne en moyenne moins ce que je paye en moyenne. Le reste, c'est de la mécanique pour calculer ces « moyennes » correctement, en utilisant la distribution log-normale du prix de l'action.

La formule, présentée

Voici le résultat le plus célèbre de la finance moderne, en trois lignes :

Décortication symbole par symbole

On a 9 symboles. On les passe un par un. Aucun ne doit rester opaque à la fin.

« En français pur : le prix du call est la valeur de l'action que je détiendrai en moyenne (S × N(d₁)), moins la valeur actualisée du strike que je paierai en moyenne (K × e^−rT × N(d₂)), où les pondérations N(d₁) et N(d₂) viennent de la distribution log-normale du prix futur. »

Que représentent N(d₁) et N(d₂) ?

Ces deux nombres entre 0 et 1 sont la clé de lecture de la formule. Ils ont chacun une signification précise.

N(d₂) — la probabilité d'exercice sous Q. C'est la probabilité (sous le filtre risque-neutre de la Section 4) que l'option finisse dans la monnaie, c'est-à-dire que S_T > K à l'échéance. Si N(d₂) = 0,5, le marché estime (sous Q) qu'il y a 50% de chances que le call soit exercé.

N(d₁) — le delta du call. C'est exactement la quantité d'actions que le trader doit détenir pour répliquer l'option (le delta hedging de la Section 3). Si N(d₁) = 0,5, le trader doit détenir 0,5 action par call vendu.

Les deux nombres sont proches mais différents. N(d₁) est toujours un peu plus grand que N(d₂), parce que N(d₁) intègre une « prime de convexité » liée à σ²T. Plus σ et T sont grands, plus ils s'écartent.

Exemple chiffré : Apple ATM 3 mois, σ=25%, r=4%. On va calculer en détail dans la sous-section suivante. On trouvera N(d₁) ≈ 0,556 et N(d₂) ≈ 0,507. Donc le delta est 0,556 et la probabilité d'exercice sous Q est 50,7%.

Mini-cas chiffré : on calcule un call à la main

Prenons un cas simple : Apple à 180€, strike 180€, maturité 3 mois (T = 0,25), volatilité 25%, taux sans risque 4%.

Étape 1 — Calculer d₁ et d₂.

On commence par ln(S/K) = ln(180/180) = ln(1) = 0. Apple est exactement à la monnaie.

On calcule (r + σ²/2) × T = (0,04 + 0,03125) × 0,25 = 0,01781. Le « plus » de drift sur 3 mois.

On divise par σ√T = 0,25 × 0,5 = 0,125. La normalisation par la taille du mouvement attendu.

→ d₁ = (0 + 0,01781) / 0,125 ≈ 0,142

Et d₂ = d₁ − σ√T = 0,142 − 0,125 = 0,017.

Étape 2 — Lire les valeurs N(d₁) et N(d₂) dans une table de la loi normale (ou utiliser une calculatrice). Avant de plonger dans les chiffres, une seconde de pédagogie sur ce qu'est concrètement N(x).

• N(0,142) ≈ 0,556 — ce qui veut dire approximativement : « il y a 55,6% de chances que l'option soit profitable au-dessus du strike, pondéré par l'écart »
• N(0,017) ≈ 0,507 — soit ~50,7% de chances pures que l'option finisse ITM

Étape 3 — Appliquer la formule :

C = 100,08 − 180 × 0,9900 × 0,507 = 100,08 − 90,33 ≈ 9,75€

Voilà. Un call ATM Apple 3 mois à 25% de vol coûte environ 9,75€. C'est ce que Black-Scholes vous dit. Et c'est ce qui sera affiché sur le terminal Bloomberg du trader. Vous venez de calculer un prix d'option à la main.

Ce calcul peut se refaire mécaniquement sur n'importe quel sous-jacent. Pour vous donner trois ordres de grandeur supplémentaires (call ATM, 3 mois, r = 4%) :

• LVMH à 700€, σ = 28% → C ≈ 42€. Plus volatile qu'Apple, donc l'option vaut proportionnellement plus cher.
• Coca-Cola à 60€, σ = 18% → C ≈ 2,40€. Vol basse, prime modeste : c'est le genre de sous-jacent où vendre du premium ne rapporte pas grand-chose.
• Bitcoin à 50 000€, σ = 70% → C ≈ 7 050€. Vol énorme : un call ATM à 3 mois coûte ~14% du spot. Le prix d'une assurance contre le chaos.

Notez la régularité : pour un ATM 3 mois, le prix du call est grossièrement 0,40 × σ × S × √T. Sur Apple : 0,40 × 0,25 × 180 × 0,5 ≈ 9€ — l'approximation tombe juste. C'est le « formule de poche » que les traders utilisent dans la tête, en marche, sans calculatrice.

La formule put et la parité call-put

Pour un put de mêmes paramètres, la formule est obtenue par une relation d'arbitrage très simple appelée la parité call-put.

« En français pur : posséder un call et avoir vendu un put de mêmes K et T, c'est exactement comme posséder l'action et devoir K à l'échéance. Le payoff est strictement le même dans tous les cas. »

Pourquoi ? Considérons le payoff à maturité de « long call − short put » avec strike K. Si S_T > K : le call vaut S_T−K, le put vaut 0 → total S_T−K. Si S_T < K : le call vaut 0, on a vendu un put qui sera exercé contre nous (on paie K, on reçoit l'action) → on possède l'action achetée à K, soit S_T−K. Dans les deux cas, payoff = S_T−K, exactement comme acheter l'action et devoir rembourser K.

D'où, en valeur actuelle : C − P = S − K·e^−rT. C'est ce qu'on appelle un forward synthétique. On en déduit immédiatement la formule du put :

Exemple chiffré sur notre Apple ATM 3 mois (C ≈ 9,75€, S=180, K=180, r=4%, T=0,25) : P = 180 × 0,9900 × N(−0,017) − 180 × N(−0,142) = 178,21 × 0,493 − 180 × 0,444 = 87,86 − 79,86 ≈ 8,00€. Vérification : C − P = 9,75 − 8,00 = 1,75. Et S − K·e^−rT = 180 − 178,21 = 1,79. Égalité (à arrondi près). La parité tient.

Lecture des schémas 13 et 14

Le schéma 13 décompose visuellement la formule. La barre cyan montre la jambe action S·N(d₁), la barre orange la jambe cash K·e^−rT·N(d₂), et la courbe blanche la différence — qui n'est autre que le prix BS du call. Bougez le slider sur S pour voir comment les deux jambes évoluent.

Vérification numérique : ordre de grandeur à mémoriser

Pour avoir un sanity-check en tête à vie, retenez ce cas standard. S = K = 100, T = 1 an, r = 3%, σ = 25%.

• d₁ = [ln(1) + (0,03 + 0,5×0,0625)·1] / (0,25·√1) = (0 + 0,06125) / 0,25 ≈ 0,245
• d₂ = 0,245 − 0,25 = −0,005
• N(d₁) ≈ 0,5968, N(d₂) ≈ 0,4980
• C = 100 × 0,5968 − 100 × e^−0,03 × 0,4980 ≈ 59,68 − 48,33 ≈ 11,35€

Onze euros et trente-cinq centimes pour un call ATM à 1 an avec 25% de vol. Cas standard à garder en tête. La heatmap 14 ci-dessous donne le prix du call sur tout le plan (S, σ).

On a la formule. On a la mécanique. Il reste à voir comment elle réagit aux changements de marché — par les sensibilités, les Greeks, qu'on a déjà vues en Partie 1 mais qu'on peut maintenant calculer exactement. Direction Section 7.

// 07

Les Greeks analytiques

Section précédente : on a la formule fermée du call. Section actuelle : on dérive cette formule par rapport à chaque variable d'entrée pour obtenir les sensibilités — les Greeks. En Partie 1, ils étaient des intuitions. Ici, ils deviennent des nombres calculables exactement.

Analogie : la dérivée comme sensibilité

Imaginez un thermomètre dans une pièce. La température extérieure monte de 1°C, la température intérieure monte de 0,3°C. Ce 0,3, c'est la sensibilité de la pièce à l'extérieur. Si l'isolation est meilleure, la sensibilité tombe à 0,1. Si la fenêtre est ouverte, elle grimpe à 0,9.

Un Greek, c'est exactement ça : un nombre qui dit de combien la valeur de l'option bouge quand un paramètre du marché bouge d'une unité. Delta = sensibilité au prix. Vega = sensibilité à la vol. Theta = sensibilité au temps. Et ainsi de suite.

Le tableau des 5 formules

Voici les 5 Greeks, dans leurs conventions de marché (« par 1€ / par +1% / par 1 jour ») :

φ(x) (« phi de x ») est la densité de la loi normale standard, c'est-à-dire la cloche gaussienne (à ne pas confondre avec N(x), qui est l'aire sous cette cloche jusqu'à x). Toutes les formules ci-dessus contiennent φ(d₁), parce que le maximum de la cloche est atteint pour d₁ ≈ 0, c'est-à-dire ATM. C'est la raison pour laquelle gamma et vega culminent ATM.

Les 5 Greeks, un par un, sur Apple ATM 3 mois

Pour fixer les idées, on prend le même cas que partout : Apple à 180€, K=180€, σ=25%, r=4%, T=0,25 (3 mois). On rappelle d₁ ≈ 0,142 et d₂ ≈ 0,017, φ(d₁) ≈ 0,395.

« En français pur : les Greeks sont les 5 tableaux de bord d'un trader d'options. Ils disent comment chaque secousse du marché — prix, vol, temps, taux — affecte la valeur du book. »

Vega vs Theta selon la maturité

Intuition pratique pour conclure : sur une option ATM, vega croît en √T et |theta| décroît en 1/√T. Algébriquement, le produit Vega × Theta est presque constant — tout le risque migre simplement entre les deux selon la maturité.

Conséquence opérationnelle : les options longues sont des paris sur la vol (tout est concentré dans vega), les options courtes sont des paris sur le mouvement immédiat (gamma et theta dominent). Un trader « vol » regarde des maturités 6 mois–2 ans. Un « gamma scalper » regarde des hebdo. Le schéma 15 ci-dessous le montre directement.

Tableau comparatif des Greeks par maturité (call ATM, σ=25%, S=K=100)

Tout ce qu'on a vu jusqu'ici suppose que σ est connu et constant. C'est faux dans la vraie vie. La Section 8 montre comment le marché contredit cette hypothèse — à travers le smile et le skew de volatilité.

// 08

Vol implicite, smile et skew

On a vu en Section 7 que la formule BS dépend de σ. Mais σ n'est pas observable — la volatilité « vraie » du futur n'existe pas encore. Question : quelle volatilité faut-il mettre dans la formule ? Réponse : celle que le marché exprime à travers les prix d'options. C'est la vol implicite, et c'est tout l'enjeu de cette section.

L'analogie du baromètre

Distinguez deux grandeurs. La vol réalisée, c'est la météo d'hier — l'écart-type des rendements observés sur le mois passé. C'est un fait, calculable à partir de l'historique. La vol implicite, c'est le baromètre d'aujourd'hui qui annonce la météo de demain — ce que le marché parie sur la turbulence à venir.

Quand l'aiguille du baromètre monte, on s'attend à de la tempête. Quand la vol implicite monte (de 15% à 30% sur le S&P), c'est que le marché paie cher pour se couvrir : il pressent du grabuge.

Comment on calcule la vol implicite

Voici le secret de polichinelle des desks : presque personne n'utilise la formule pour calculer un prix. Tout le monde s'en sert pour traduire un prix en volatilité. Le marché cote une option en euros ; un trader prend le prix, l'inverse à travers la formule, et obtient la vol implicite.

Pourquoi cette inversion ? Parce que comparer deux primes en euros n'a pas de sens (strikes, maturités, sous-jacents tous différents). Mais comparer deux vols implicites, oui. C'est le PER des options : un nombre standardisé pour juger « cher » ou « pas cher ».

Le smile de volatilité

Dans le monde théorique de Black-Scholes, σ est une constante. Donc si on inverse la formule pour différents strikes, on devrait retomber sur la même vol implicite. Or, sur tous les marchés depuis 1987, on observe l'inverse : la vol implicite varie avec le strike, parfois fortement.

Quand on trace cette courbe (vol implicite en fonction du strike), elle dessine une forme caractéristique en U : élevée aux extrêmes (puts OTM profonds, calls OTM profonds), basse au milieu (ATM). C'est le smile de volatilité.

Pourquoi ? Parce que la log-normale de Black-Scholes sous-estime les queues de distribution. Dans la vraie vie, les krachs et les rallyes extrêmes arrivent plus souvent que la cloche gaussienne ne le prédit. Les options qui couvrent ces extrêmes (les OTM profonds) sont donc plus chères que ce que BS prévoit, ce qui se traduit par une vol implicite plus haute. Le smile est la signature visible de l'écart entre le modèle et la réalité.

Smile vs Skew : actions et indices ne sourient pas pareil

Deux profils dominants existent.

• Actions individuelles et FX — un vrai smile, plutôt symétrique. Les vols extrêmes (puts OTM et calls OTM) sont au-dessus de la vol ATM. Une action peut sauter dans les deux sens (rachat surprise, profit warning) ; le marché valorise les deux risques.
• Indices boursiers (S&P 500, Eurostoxx) — un skew asymétrique. Les puts OTM ont des vols implicites bien plus élevées que les calls OTM. La courbe penche fortement vers la gauche, comme un sourire de travers (smirk). Le risque baissier coûte beaucoup plus cher que le risque haussier.

Pourquoi le skew sur indices ? Crashophobia post-1987

Avant le krach d'octobre 1987 (Black Monday, −22% en une journée sur le S&P), la vol implicite était à peu près plate. Le skew est apparu juste après ce krach. Il n'a jamais disparu.

C'est un phénomène collectif : les institutionnels (fonds de pension, gestionnaires de portefeuilles longs, assureurs) achètent en permanence des puts OTM pour se couvrir contre les chutes brutales. Cette demande structurelle remonte les prix de ces puts, donc leurs vols implicites. Le skew persiste comme une cicatrice permanente du krach de 1987. On l'appelle parfois crashophobia. Sur les indices, les chutes brutales arrivent (1987, 2000, 2008, 2020) ; les rallyes brutaux quasi jamais. Le skew reflète exactement cette asymétrie historique.

Lecture des schémas 17 et 18

Le schéma 17 superpose trois profils. La ligne pointillée grise, c'est ce que BS prédirait (vol constante à tous les strikes). La courbe cyan, c'est le skew observé sur un indice (S&P-like) — pente nettement décroissante. La courbe violette, c'est le smile observé sur action ou FX — forme en U.

Le schéma 18 est la généralisation 2D : la surface de volatilité implicite (strike × maturité), qui est l'objet quotidien d'un desk de vol. La calibrer correctement, c'est tout l'enjeu d'un trader d'options sur indices.

On a fait le tour de Black-Scholes — la dynamique, la réplication, la mesure Q, l'EDP, la formule, les Greeks, et enfin la vol implicite. Reste à dresser le bilan critique du modèle, et à voir ce que la finance moderne a inventé pour combler ses limites. Direction Section 9.

// 09

Limites du modèle

Soyons clairs. Black-Scholes est un modèle qui suppose à peu près tout ce qu'on sait être faux dans la vraie vie. Voici la liste, sans complaisance, et ce que la finance moderne a inventé pour s'en sortir.

• La vol n'est pas constante — elle varie dans le temps (la vol elle-même est volatile, c'est la « vol of vol ») et avec le strike. Solution : modèles à volatilité stochastique (Heston, 1993), SABR (Hagan, 2002). Ces modèles introduisent un second processus pour la vol, et reproduisent naturellement le smile.
• Les prix sautent — Black Monday 1987, Lehman 2008, Covid 2020 : des sauts en quelques heures qu'aucune log-normale ne peut générer. Solution : modèles avec sauts de Merton (1976), Lévy processes. On colle un processus de Poisson au brownien.
• Les queues sont plus épaisses que la log-normale ne le dit. Les krachs à −10% ou +10% sur indice arrivent une fois par décennie ; sous BS pur, ils ne devraient jamais arriver. Mêmes solutions que ci-dessus.
• Les dividendes ne sont pas continus — ils tombent à des dates précises (ex-div). Solution : ajustement discret par actualisation du strike ou via la formule étendue de Merton avec rendement de dividende continu (dégradation acceptable).
• Le hedge continu est impossible — on ne rebalance pas en continu, on a des frais de transaction, des quantités entières d'actions. La réplication a un coût et un bruit. Solutions : modèles de coûts de transaction (Leland 1985), super-hedging.
• Les options exotiques sont path-dependent (asiatiques, lookback, barrière, autocalls). La formule BS européenne ne s'applique pas — on doit recourir à la simulation Monte Carlo, à des EDP en plus haute dimension, à des arbres binomiaux. C'est l'objet d'une série dédiée aux structurés complexes, après la Partie 3.

Et pourtant, malgré toutes ces approximations, BS reste le langage commun. Pourquoi ? Parce qu'il fournit une grille : un référentiel mathématique commun, une décomposition en Greeks qui marchent même quand le modèle est faux, une convention pour comparer deux prix.

C'est exactement la posture à avoir face à BS. Il est faux. Il est extraordinairement utile. Le travail d'un quant, ce n'est pas de croire au modèle, c'est de connaître ses biais et de travailler malgré eux.

// 10

La suite

Vous avez maintenant le moteur. Pas l'aiguille, pas le tableau de bord — le moteur. La suite, c'est ce qu'on fait avec.

Très bientôt sur ce site : un pricer Python interactif qui implémente toute la formule, les Greeks, le smile et un calibrateur Monte Carlo. Tout le code est ouvert ; je commenterai chaque ligne dans un article séparé.

En Partie 3, on assemble ces briques. Pas en autocall — ça viendra dans une série dédiée. Mais en deux produits qui se construisent directement avec ce qu'on vient de voir : le capital garanti (zéro-coupon + long call, le client achète de l'optionalité) et le reverse convertible (obligation + short put, le client vend de l'optionalité). Les deux logiques opposées, sur deux produits. C'est l'introduction à la finance dérivée appliquée.

Black-Scholes est faux. Black-Scholes est utile. Tenir ces deux idées en même temps, c'est ça, comprendre les marchés. À très bientôt.